Lógica Proposicional - Proposições Associadas a uma Condicional

Xadrez

(Foto: Aleksandra P. / FreeImages) CC BY-NC

No artigo anterior em Lógica Proposicional - Equivalência Lógica, foi apresentado o que é equivalência lógica, como descobrir se duas fórmulas são equivalentes e algumas propriedades. 

Neste artigo aprenderemos sobre proposições associadas a uma condicional.

Definição

Dada a condicional $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$, chama-se proposições associadas a $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ as três seguintes proposições que contêm $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$:

1. Proposição recíproca de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$: $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$.
2. Proposição contrária de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$: $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$.
3. Proposição contrapositiva de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$: $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$.

As tabelas-verdade destas quatro proposições são:

$$\text{P}$$	$$\text{Q}$$	$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$	$$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$	$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$	$$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$
V	V	V	V	V	V
V	F	F	F	V	V
F	V	V	V	F	F
F	F	V	V	V	V

Com isso demonstramos duas propriedades importantes:

1. A condicional $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ e a sua contrapositiva $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ são equivalentes.
2. A recíproca $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ e a contrária $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$, da condicional $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$, são equivalentes.

Vejamos alguns exemplos:

1 - Seja a condicional, $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$: Se T é equilátero, então T é isósceles. 

A recíproca desta proposição é $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$: Se T é isósceles, então T é equilátero.

Aqui, a condicional, $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$, é verdadeira, mas a sua recíproca, $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$, é falsa.

2 - Seja a condicional, $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$: Se Carlos é professor, então é uma boa pessoa.

A contrapositiva é $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$: Se Carlos não é uma boa pessoa, então não é professor.

3 - Seja a condicional: "Se x é menor que zero, então x não é positivo". Encontre sua contrapositiva.

Representando por $$\text{P}$$ a proposição "x é menor que zero" e por $$\text{Q}$$ a proposição "x é positivo", a condicional dada sob forma simbólica escreve-se: $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$, e por conseguinte a sua contrapositiva é $$\neg$$$$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\equiv$$ $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$, isto é, em linguagem corrente: "Se x é positivo, então x não é menor que zero".

4 - Seja a proposição condicional, $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$: Se x² é ímpar, então x é ímpar.

A contrapositiva desta condicional é $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$: Se x² é par, então x² é par.

5 - Determinar:

1. A contrapositiva da contrapositiva de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$.
2. A contrapositiva da recíproca de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$.
3. A contrapositiva da contrária de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$.

Resolução:

1. A contrapositiva de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ é $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$. E a contrapositiva de $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ é $$\neg$$$$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$.
2. A recíproca de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ é $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$. E a contrapositiva de $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ é $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$.
3. A contrária de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ é $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$. E a contrapositiva de $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ é $$\neg$$$$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\neg$$$$\text{P}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$.

6 - Determinar:

1. A contrapositiva de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$.
2. A contrapositiva de $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$.
3. A contrapositiva da recíproca de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$.
4. A recíproca da contrapositiva de $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$.

Resolução:

1. A contrapositiva de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ é $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$.
2. A contrapositiva de $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ é $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$.
3. A recíproca de $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ é $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$. E a contrapositiva de $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ é $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$.
4. A contrapositiva de $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ é $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$. E a recíproca de $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ é $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$.

O que você aprendeu

O presente artigo é o mais curto, até o momento, da série lógica proposicional, mas não se deixe levar pelo fato dele ser o menor, porque veremos as suas aplicações na parte de dedução. Virmos que que uma implicação possui três variações: recíproca, inversa e contrapositiva. Especificamente, você aprendeu:

• Variações de uma implicação.
• O que é uma recíproca.
• O que é uma inversa.
• O que é uma contrapositiva.

Continua em

Lógica Proposicional - Implicação Lógica

Continuação de

Lógica Proposicional - Equivalência Lógica

Referência Bibliográfica 

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