Lógica Proposicional - Proposições Associadas a uma Condicional

Xadrez

(Foto: Aleksandra P. / FreeImages) CC BY-NC

No artigo anterior em Lógica Proposicional - Equivalência Lógica, foi apresentado o que é equivalência lógica, como descobrir se duas fórmulas são equivalentes e algumas propriedades. 

Neste artigo aprenderemos sobre proposições associadas a uma condicional.

Definição

Dada a condicional $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$, chama-se proposições associadas a $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ as três seguintes proposições que contêm $\text{P}$ e $\text{Q}$:

1. Proposição recíproca de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$: $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$.
2. Proposição contrária de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$: $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$.
3. Proposição contrapositiva de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$: $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$.

As tabelas-verdade destas quatro proposições são:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$	$\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$	$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$	$\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$
V	V	V	V	V	V
V	F	F	F	V	V
F	V	V	V	F	F
F	F	V	V	V	V

Com isso demonstramos duas propriedades importantes:

1. A condicional $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ e a sua contrapositiva $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$ são equivalentes.
2. A recíproca $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$ e a contrária $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$, da condicional $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$, são equivalentes.

Vejamos alguns exemplos:

1 - Seja a condicional, $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$: Se T é equilátero, então T é isósceles. 

A recíproca desta proposição é $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$: Se T é isósceles, então T é equilátero.

Aqui, a condicional, $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$, é verdadeira, mas a sua recíproca, $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$, é falsa.

2 - Seja a condicional, $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$: Se Carlos é professor, então é uma boa pessoa.

A contrapositiva é $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$: Se Carlos não é uma boa pessoa, então não é professor.

3 - Seja a condicional: "Se x é menor que zero, então x não é positivo". Encontre sua contrapositiva.

Representando por $\text{P}$ a proposição "x é menor que zero" e por $\text{Q}$ a proposição "x é positivo", a condicional dada sob forma simbólica escreve-se: $\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$, e por conseguinte a sua contrapositiva é $\neg$$\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$ $\equiv$ $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$, isto é, em linguagem corrente: "Se x é positivo, então x não é menor que zero".

4 - Seja a proposição condicional, $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$: Se x² é ímpar, então x é ímpar.

A contrapositiva desta condicional é $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$: Se x² é par, então x² é par.

5 - Determinar:

1. A contrapositiva da contrapositiva de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$.
2. A contrapositiva da recíproca de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$.
3. A contrapositiva da contrária de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$.

Resolução:

1. A contrapositiva de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ é $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$. E a contrapositiva de $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$ é $\neg$$\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\neg$$\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$.
2. A recíproca de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ é $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$. E a contrapositiva de $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$ é $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$.
3. A contrária de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ é $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$. E a contrapositiva de $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$ é $\neg$$\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\neg$$\text{P}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$.

6 - Determinar:

1. A contrapositiva de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$.
2. A contrapositiva de $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$.
3. A contrapositiva da recíproca de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$.
4. A recíproca da contrapositiva de $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$.

Resolução:

1. A contrapositiva de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$ é $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{P}$.
2. A contrapositiva de $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ é $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$.
3. A recíproca de $\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$ é $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$. E a contrapositiva de $\neg$$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$ é $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$.
4. A contrapositiva de $\neg$$\text{P}$ $\rightarrow$ $\neg$$\text{Q}$ é $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$. E a recíproca de $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$ é $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$.

O que você aprendeu

O presente artigo é o mais curto, até o momento, da série lógica proposicional, mas não se deixe levar pelo fato dele ser o menor, porque veremos as suas aplicações na parte de dedução. Virmos que que uma implicação possui três variações: recíproca, inversa e contrapositiva. Especificamente, você aprendeu:

• Variações de uma implicação.
• O que é uma recíproca.
• O que é uma inversa.
• O que é uma contrapositiva.

Continua em

Lógica Proposicional - Implicação Lógica

Continuação de

Lógica Proposicional - Equivalência Lógica

Referência Bibliográfica 

ABE, J. M; SCALZITTI, A; FILHO, J. I. S. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. 247 p.

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FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.

GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1995. 518 p.

Para citar esse artigo:

BATISTA, G. A. Lógica Proposicional - Proposições Associadas a uma Condicional. Publicado em: 23 ago. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/08/proposicao-associada-condicional.html. Acesso em: 6 abr. 2025.