Os exercícios a seguir são os últimos da maratona de exercícios de Cálculo sobre limites de uma função que sejam finitos. Após esses exercícios, existem mais alguns de revisão que serão postados em um artigo à parte. Esse artigo é uma continuação dos limites do tipo $$\frac{0}{0}$$.
Calcule os seguintes limites:
a) $$\lim_{x \to 2} \frac{-5x^{2} + 20}{x - 2}$$
b) $$\lim_{x \to -2} \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$$
c) $$\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + x - 12}{x - 3}$$
d) $$\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$$
Resolução
Caso já tenha resolvido, é hora de conferir a resposta e saber se acertou ou não.a) $$\lim_{x \to 2} \frac{-5x^{2} + 20}{x - 2}$$
Calculando os Limites Laterais com tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1,9 | -19,5 | 2,1 | -20,5 |
| 1,99 | -19,95 | 2,01 | -20,05 |
| 1,999 | -19,995 | 2,001 | -20,005 |
| 1,9999 | -19,9995 | 2,0001 | -20,0005 |
Podemos notar que quando X tende a 2, a função tende a -20 em ambos os lados.
Calculando (fatoração):
$$\lim_{x \to 2} \frac{-5x^{2} + 20}{x - 2}$$ = $$\lim_{x \to 2} \frac{-5(x^{2} - 4)}{x - 2}$$ =
$$\lim_{x \to 2} \frac{-5(x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$$ = $$\lim_{x \to 2} \frac{-5(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$$ =
$$\lim_{x \to 2} -5(x + 2)$$ = $$\lim_{x \to 2} (-5x - 10)$$ $$ = -20$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 2, f(x) tende a -20 |
b) $$\lim_{x \to -2} \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$$
Calculando os Limites Laterais com tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| -2,1 | 12,61 | -1,9 | 11,41 |
| -2,01 | 12,0601 | -1,99 | 11,9401 |
| -2,001 | 12,0060 | -1,999 | 11,9940 |
| -2,0001 | 12,0006 | -1,9999 | 11,9994 |
Podemos notar que quando X tende a -2, a função tende a 12 em ambos os lados.
Calculando (fatoração):
Iremos utilizar o produto notável $$a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$$. Se realizarmos a distributiva, voltaremos a expressão original:
$$(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$$ $$= a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b - ab^{2} + b^{3}$$ = $$a^{3} + b^{3}$$
$$\lim_{x \to -2} \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$$ = $$\lim_{x \to -2} \frac{x^{3} + 2^{3}}{x + 2}$$ = $$\lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x^{2} - 2x + 2^{2})}{x + 2}$$ = $$\lim_{x \to -2} (x^{2} - 2x + 4)$$ $$ = 4 + 4 + 4 = 12$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a -2, f(x) tende a 12 |
c) $$\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + x - 12}{x - 3}$$
Calculando os Limites Laterais com tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 2,9 | 6,9 | 3,1 | 7,1 |
| 2,99 | 6,99 | 3,01 | 7,01 |
| 2,999 | 6,999 | 3,001 | 7,001 |
| 2,9999 | 6,9999 | 3,0001 | 7,0001 |
Podemos notar que quando X tende a 3, a função tende a 7 em ambos os lados.
Calculando (fatoração):
Utilizaremos a mesma fatoração dos exercícios anteriores, em que $$a(x - x')(x - x'')$$ = $$ax^{2} + bx + c$$.
$$x'+ x'' = \frac{-b}{a}$$
$$x' \times x'' = \frac{c}{a}$$
$$\_+ \_ = -1$$
$$\_ \times \_ = - 12$$
$$3 +(-4) = -1$$
$$3 \times (-4) = - 12$$
$$\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + x - 12}{x - 3}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 4)}{x - 3}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to 3} (x + 4)$$ $$ = 7$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 3, f(x) tende a 7 |
d) $$\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$$
Calculando os Limites Laterais com tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1,9 | 11,41 | 2,1 | 12,61 |
| 1,99 | 11,9401 | 2,01 | 12,0601 |
| 1,999 | 11,9940 | 2,001 | 12,0060 |
| 1,9999 | 11,9994 | 2,0001 | 12,0006 |
Podemos notar que quando X tende a 2, a função tende a 12 em ambos os lados.
Calculando (fatoração):
$$\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 2^{3}}{x - 2}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x - 2}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to 2} (x^{2} + 2x + 4)$$ $$=$$ $$4 + 4 + 4 = 12$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 2, f(x) tende a 12 |
Esta foi a última lista de exercícios de Cálculo contendo limites finitos. No próximo artigo ainda resolveremos mais dois exercícios de revisão e depois entraremos no estudo dos Limites Infinitos.
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