Teoria dos Conjuntos - Exercícios

Se você já viu todos os artigos do nosso site sobre a Teoria dos Conjuntos, então é hora de testar seus conhecimentos com essas 10 questões a seguir. Ao final do teste, você poderá ver a resolução dos problemas e o seu desempenho, portanto, é importante responder todas as questões! Caso deseje pular alguma questão, a questão não respondida será tomada como errada.

1) Dado o conjunto $$A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}\}$$ e o conjunto $$B = \{x \mid x \in \mathbb{N}\}$$, podemos afirmar que:

A) $$-5 \notin A \text{ e } -5 \notin B$$

B) $$-5 \in B \text{ e } -5 \in A$$

C) $$-5 \notin A \text{ e } -5 \in B$$

D) $$-5 \notin B \text{ e } -5 \in A$$

E) $$-5 \in \varnothing$$

2) Dado o conjunto $$A = \{p, p - 2\}$$, o conjunto das partes de $$A$$ será:

A) $$\{\varnothing, \{p\}, \{p - 2\}, \{p, p - 2\}\}$$

B) $$\{\{p\}, \{p - 2\}, \{p, p - 2\}\}$$

C) $$\{\varnothing, \{p - 2\}, \{p, p - 2\}\}$$

D) $$\{\{p, p - 2\}\}$$

E) $$\{\{p\}, \{p, p - 2\}\}$$

3) (UFCE) Se um conjunto $$A$$ possui n elementos, então o conjunto $$\mathscr{P}(A)$$, das partes de $$A$$, possui 2ⁿ elementos. Qual é o número de elementos do conjunto das partes de $$\mathscr{P}(A)$$?

A) $$2^{0}$$

B) $$2^{n}$$

C) $${2^{2}}^{n}$$

D) $$8^{n}$$

E) $$16^{n}$$

4) Dados os conjuntos:
$$A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^{2} + 2x - 15 = 0\}$$ e $$B = \{1, 3, 5, 7\}$$, então $$A \cap B$$ resulta no conjunto:

A) $$\{3, 5\}$$

B) $$\{3\}$$

C) $$\{3, -5\}$$

D) $$\{3i, 5i\}$$

E) $$\{3i, -5i\}$$

5) Dados os conjuntos $$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$$ e $$B = \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$$, podemos dizer que $$A \cap B$$ e $$B \cup A$$, resultam respectivamente nos conjuntos:

A) $$\{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11\}$$ e $$\{1, 3, 5, 7\}$$

B) $$\{1, 2, 3, 5\}$$ e $$\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$$

C) $$\{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11\}$$ e $$\{1, 3, 5, 7, 11\}$$

D) $$\{1, 3, 5, 7\}$$ e $$\{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11\}$$

E) $$\{1, 3, 5, 7, 9\}$$ e $$\{1, 2, 5, 9, 11\}$$

6) Considerando o conjunto $$A = \{1, 3, 5, 7\}$$ e $$B = \{2, 4, 6, 8\}$$, a operação $$A - B$$ é igual a:

A) $$A$$

B) $$B$$

C) $$\varnothing$$

D) $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$$

E) $$B - A$$

7) Considerando o conjunto universo $$U = \{a, e, i, o, u\}$$ e o conjunto $$G = \{a, i, u\}$$, a $$\complement_{U}^{G}$$ é:

A) $$\{a, e, i, o ,u\}$$

B) $$\{a, i ,u\}$$

C) $$\{e, o\}$$

D) $$\{a, e, i, o, u\}$$

E) $$\varnothing$$

8) Sendo $$A = \{0 ,2, 4, 6, 8\}$$ e $$B = \{0, 2, 4\}$$, sendo $$A = U$$, então $$\mathscr{P}\left(\complement_{A}^{B}\right)$$ é:

A) $$\{\varnothing, \{6\}, \{8\}, \{6, 8\}\}$$

B) $$\{\varnothing\}$$

C) $$\{\{0\}, \{2\}, \{4\}, \{6\}, \{8\}\}$$

D) $$\{\{0\}, \{2\}, \{4\}\}$$

E) $$\varnothing$$

9) Na figura abaixo, a região pintada de azul representa o conjunto:

A) $$\complement_{U}^{(B - A)}$$

B) $$\complement_{U}^{(A - B)}$$

C) $$\complement_{A}^{B}$$

D) $$\complement_{B}^{A}$$

E) $$\complement_{B}^{U}$$

10) (U. F. Uberlândia - MG) Em relação aos conjuntos:
$$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x < 6\}$$ e $$B = \{x \mid x \text{ é real não negativo e } x^{2} - 6x + 8 = 0\}$$, pode-se dizer que $$\complement_{A}^{B}$$ é

A) $$\{1, 3, 5, 6\}$$

B) $$\{2, 4\}$$

C) $$\{1, 3, 5\}$$

D) $$\{-2, -1, 1, 3, 5\}$$

E) $$\{-2, -1, 0, 1, 3, 5\}$$

Resolução

1) $$A$$ é o conjunto dos números inteiros. $$\{..., -2, -1, 0, 1, 2,...\}$$
$$B$$ é o conjunto dos números naturais. $$\{0, 1, 2, 3, ...\}$$
Portanto, -5 pertence a $$A$$ e não pertence a $$B$$. Alternativa D



2) O conjunto das partes de $$A$$, ou seja, $$\mathscr{P}(A)$$ deve conter $$2^{2}$$ elementos, já que $$A$$ contém 2 elementos. $$\mathscr{P}(A) = \{\varnothing, \{p\}, \{p - 2\}, \{p, p - 2\}\}$$. Alternativa A

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3) $$A$$ possui n elementos $$\Rightarrow \mathscr{P}(A) = 2^{n}$$ elementos.
Então $$\mathscr{P}\left(\mathscr{P}(A)\right) = {2^{2}}^{n}$$. Alternativa C

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4) Os elementos $$x$$ pertencem ao conjunto dos números reais. E como podemos notar que $$ax^{2} + bx + c = 0$$, temos que resolver uma equação do segundo grau para acharmos os elementos do conjunto $$A$$.

Usando a Fórmula de Bhaskara:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2a}$$

$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -15$$

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot -15}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - (-60)}}{2}$$

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2}$$

$$x' = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$

$$x'' = \frac{-2 - 8}{2} = -5$$


$$A = \{3, -5\}$$
$$A \cap B = \{3, -5\} \cap \{1, 3, 5, 7\} = \{3\}$$. Alternativa B

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5) Primeiro vamos fazer a interseção de $$A$$ e $$B$$.
$$A \cap B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 2, 3, 5, 7, 11\} = \{1, 3, 5, 7\}$$

Agora vamos fazer a união de $$B$$ e $$A$$.
$$B \cup A = \{1, 2, 3, 5, 7, 11\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11\}$$. Alternativa D

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6) Os conjuntos $$A$$ e $$B$$ são disjuntos, portanto $$A - B = A$$. Pois sabemos que:
$$A \cap B = \varnothing \Rightarrow A - B = A, \forall A, \forall B$$. Alternativa A

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7) Para acharmos a complementar de $$G$$ em $$U$$, basta lembrarmos que se trata de uma operação de diferença entre conjuntos.
$$\complement_{U}^{G} = U - G \therefore \{a, e, i, o, u\} - \{a, i, u\} = \{e, o\}$$. Alternativa C

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8) O problema pede o conjunto das partes da complementar de $$B$$ em $$A$$. Então:
$$\mathscr{P}\left(\complement_{A}^{B}\right) = \mathscr{P}(\{0, 2, 4, 6, 8\} - \{0, 2, 4\}) = \mathscr{P}(\{6, 8\})$$
$$\mathscr{P}(\{6,8\}) = \{\varnothing, \{6\}, \{8\}, \{6, 8\}\}$$. Alternativa A

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9) Observe as imagens abaixo e suas respectivas legendas.

$$A - B$$

$$\complement_{U}^{(A - B)}$$ ou $$U - (A - B)$$

Alternativa B

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10) Podemos resolver da seguinte maneira:

Em $$A$$, $$-2 \le x \Rightarrow x \ge -2$$ e $$x < 6$$, pertencente ao conjunto dos números inteiros.
$$A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$
Em $$B$$ temos uma equação do segundo grau, pois $$ax^{2} + bx + c = 0$$. Então:

$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = 8$$

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2a}$$


$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$$

$$x' = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

$$x'' = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$$

$$B = \{4, 2\}$$
$$\complement_{A}^{B} = A - B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} - \{4, 2\} = \{-2, -1, 0, 1, 3, 5\}$$. Alternativa E

Artigos

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