Neste artigo você aprenderá um dos tópicos mais cobrados em vestibulares a respeito das operações realizadas entre conjuntos: o número de elementos da união de um conjunto. Se você já leu a parte 1, com certeza não terá dificuldades de entender este assunto. Se caiu aqui por acaso e não entende muito sobre conjuntos, pode ler tópicos anteriores aqui.
Índice
Número de Elementos da União de um Conjunto
Este é um tópico importante na Teoria dos Conjuntos, e um dos que mais cai em vestibulares, quando se trata deste assunto. Portanto, será abordado a seguir alguns exemplos práticos e dois problemas no final com resolução.
Com dois Conjuntos
O número de elementos da união de dois conjuntos A e B, é igual a soma do número de elementos dos dois conjuntos menos a interseção de A e B.
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$Exemplo:
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| Conjunto A e B |
$$A = \{r, o, d, a\}$$
$$B = \{p, a, t, o\}$$
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$
$$n (A \cup B) = 4 + 4 - 2$$
$$n (A \cup B) = 6$$
Isso acontece porque o conjunto A possui 4 elementos, o conjunto B também possui 4 elementos, mas ambos possuem 2 elementos em comum $$(A \cap B = \{o, a\})$$ e por isso não podemos repeti-los.
Portanto, para saber o número total de elementos de dois conjuntos, não basta apenas somar o número de elementos dos dois conjuntos! Precisa subtrair o número de elementos repetidos após a soma. É exatamente com esta lógica, que podemos concluir que:
$$AB = AB$$
$$A = A - AB$$
$$B = B - AB$$
$$A + B + AB = \text{ total }$$
Obs.: Neste caso o A, B e AB estão sendo tratados como número de elementos do conjunto A, B e AB respectivamente. AB é a interseção.
Cálculo
$$(4 - 2) + (4 - 2) + 2 = 6$$
Exemplo 2:
Qual número total de elementos da união de A e B?
Resolução:
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| Conjunto A e B |
$$B = \{t, o, u, p, e, i, r, a\}$$
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$
$$n(A \cup B) = 11 + 8 - 7$$
$$n(A \cup B) = 12$$
O número de elementos da união desse conjunto pode ser calculado da segunda forma também:
$$AB = 7$$$$B = B - AB = 8 - 7 = 1$$
$$A = A - AB = 11 - 7 = 4$$
$$A + B + AB = \text{ total }$$
$$4 + 1 + 7 = 12$$
Cálculo
$$(11 - 7) + (8 - 7) + 7 = 12$$
Com três Conjuntos
Com três conjuntos, o cálculo é semelhante. Devemos somar o número de elementos de todos os conjuntos e subtrair pela interseção entre eles. Mas nessa subtração acabamos perdendo alguns elementos e para corrigir isso, basta somar a interseção dos três conjuntos.
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| Diagrama com 3 conjuntos |
$$n(A \cup B \cup C)$$ $$ = $$ $$n(A) + n(B) + n(C)$$ $$ - $$ $$n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C)$$ $$ + $$ $$n(A \cap B \cap C)$$
$$\text{ total } = n(A \cup B \cup C) $$
Problemas com Resolução
1) (UFMG) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês matricularam-se 22; e em inglês:
a) 9 alunosb) 23 alunos
c) 32 alunos
d) 35 alunos
e) 36 alunos
Resolução
Temos o total de alunos que cursarão francês ou inglês: 45. O número de alunos que cursarão francês será 22 e o número de alunos que cursarão francês e inglês, será 13. Por último, o número de alunos que cursarão inglês será x.
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| x é n(E) |
n(F ∪ E) = 45 (Total)
n(F) = 22 (French)
n(E) = x (English)
n(F ∩ E) = 13 (French e English)
Cálculo:
$$n(F \cup E) = n(E) + n(F) - n(F \cap E)$$
$$45 = n(E) + 22 - 13$$
$$45 = n(E) + 9$$
$$n(E) = 45 - 9$$
$$n(E) = 36$$
Ou então:
FE = 13 (French e English)
F = F - FE = 22 - 13 = 9 (French)
E = E - FE = E - 13 (English)
E + F + FE = 45 (Total)
$$(E - 13) + 9 + 13 = 45$$
$$E + 9 = 45$$
$$E = 45 - 9$$
$$E = 36$$
Resposta: Em inglês se matricularão 36 alunos. Alternativa E.
2) (PUC/Campinas - SP) Numa comunidade constituída de 1.800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte (E), novela (N) e humorístico (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:
| Programas | E | N | H | E e N | N e H | E e H | E, N e H |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Número de telespectadores | 400 | 1.220 | 1.080 | 220 | 800 | 180 | 100 |
Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:
a) 100b) 200
c) 900
d) Os dados do problema estão incorretos
e) nda
Resolução
O número de pessoas que não assistem os programas de TV é desconhecido. Precisamos achar o número de pessoas que assistem aos programas e subtrair da quantidade total de moradores da comunidade.
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| Diagrama |
1º Encontrando o número de pessoas que assistem aos programas:
$$n(N \cup E \cup H)$$ $$=$$ $$n(N) + n(E) + n(H)$$ $$-$$ $$n(N \cap E) - n(N \cap H)$$ $$-$$ $$n(E \cap H) + n(N \cup E \cup H)$$$$n(N \cup E \cup H)$$ $$=$$ $$1.220 + 400 + 1.080$$ $$-$$ $$220 - 800 - 180 + 100$$
$$n(N \cup E \cup H)$$ $$=$$ $$1.600$$
2º Encontrando o número de pessoas que não assistem aos programas:
nº de quem não assiste aos programas + nº de quem assiste aos programas = total
$$x + 1600 = 1800$$$$x = 1800 - 1600$$
$$x = 200$$
Resposta: O número de moradores da comunidade que não assistem aos três programas é de 200 pessoas. Alternativa B.
Considerações Finais
Este artigo teve como objetivo dar continuidade ao assunto de operações com conjuntos e explicar a operação mais cobrada em vestibulares. Você aprendeu:- O número de elementos da união de um conjunto (com 2 e 3 conjuntos) e
- A aplicação em problemas.
Deseja fazer uma maratona de exercícios com resolução no final e detalhadamente explicada? Então clique na lista de exercícios a seguir.
Artigos
- Teoria dos Conjuntos - Introdução
- Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
- Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
- Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
- Exercícios
Referência Bibliográfica
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.
BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.
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