Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (Parte 2/2)

Neste artigo você aprenderá um dos tópicos mais cobrados em vestibulares a respeito das operações realizadas entre conjuntos: o número de elementos da união de um conjunto. Se você já leu a parte 1, com certeza não terá dificuldades de entender este assunto. Se caiu aqui por acaso e não entende muito sobre conjuntos, pode ler tópicos anteriores aqui.

Índice

1. Número de Elementos da União de um Conjunto
   1. Com dois Conjuntos
   2. Com três Conjuntos
2. Problemas com Resolução
3. Considerações Finais

Número de Elementos da União de um Conjunto

Este é um tópico importante na Teoria dos Conjuntos, e um dos que mais cai em vestibulares, quando se trata deste assunto. Portanto, será abordado a seguir alguns exemplos práticos e dois problemas no final com resolução.

Com dois Conjuntos

O número de elementos da união de dois conjuntos A e B, é igual a soma do número de elementos dos dois conjuntos menos a interseção de A e B.

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

Exemplo:

Conjunto A e B

$A = \{r, o, d, a\}$
$B = \{p, a, t, o\}$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n (A \cup B) = 4 + 4 - 2$
$n (A \cup B) = 6$

Isso acontece porque o conjunto A possui 4 elementos, o conjunto B também possui 4 elementos, mas ambos possuem 2 elementos em comum $(A \cap B = \{o, a\})$ e por isso não podemos repeti-los.

Portanto, para saber o número total de elementos de dois conjuntos, não basta apenas somar o número de elementos dos dois conjuntos! Precisa subtrair o número de elementos repetidos após a soma. É exatamente com esta lógica, que podemos concluir que:

$AB = AB$
$A = A - AB$
$B = B - AB$
$A + B + AB = \text{ total }$

Obs.: Neste caso o A, B e AB estão sendo tratados como número de elementos do conjunto A, B e AB respectivamente. AB é a interseção.

Cálculo
$(4 - 2) +  (4 - 2) + 2 = 6$

Exemplo 2:
Qual número total de elementos da união de A e B?
Resolução:

Conjunto A e B

$A = \{r, e, c, o, n, q, u, i, s, t, a\}$
$B = \{t, o, u, p, e, i, r, a\}$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 11 + 8 - 7$
$n(A \cup B) = 12$

O número de elementos da união desse conjunto pode ser calculado da segunda forma também:

$AB = 7$
$B = B - AB = 8 - 7 = 1$
$A = A - AB = 11 - 7 = 4$

$A + B + AB = \text{ total }$
$4 + 1 + 7 = 12$

Cálculo
$(11 - 7) + (8 - 7) + 7 = 12$

Com três Conjuntos

Com três conjuntos, o cálculo é semelhante. Devemos somar o número de elementos de todos os conjuntos e subtrair pela interseção entre eles. Mas nessa subtração acabamos perdendo alguns elementos e para corrigir isso, basta somar a interseção dos três conjuntos.

Diagrama com 3 conjuntos

$n(A \cup B \cup C)$ $=$ $n(A) + n(B) + n(C)$ $-$ $n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C)$ $+$ $n(A \cap B \cap C)$

$\text{ total } = n(A \cup B \cup C)$

Problemas com Resolução

1) (UFMG) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês matricularam-se 22; e em inglês:

a) 9 alunos
b) 23 alunos
c) 32 alunos
d) 35 alunos
e) 36 alunos

Resolução

Temos o total de alunos que cursarão francês ou inglês: 45. O número de alunos que cursarão francês será 22 e o número de alunos que cursarão francês e inglês, será 13. Por último, o número de alunos que cursarão inglês será x.

x é n(E)

Dados:
n(F ∪ E) = 45 (Total)
n(F) = 22 (French)
n(E) = x (English)
n(F ∩ E) = 13 (French e English)

Cálculo:
$n(F \cup E) = n(E) + n(F) - n(F \cap E)$
$45 = n(E) + 22 - 13$
$45 = n(E) + 9$
$n(E) = 45 - 9$
$n(E) = 36$

Ou então:
FE = 13 (French e English)
F = F - FE = 22 - 13 = 9 (French)
E = E - FE = E - 13 (English)
E + F + FE = 45 (Total)

$(E - 13) + 9 + 13 = 45$
$E + 9 = 45$
$E = 45 - 9$
$E = 36$

Resposta: Em inglês se matricularão 36 alunos. Alternativa E.

2) (PUC/Campinas - SP) Numa comunidade constituída de 1.800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte (E), novela (N) e humorístico (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:

Programas	E	N	H	E e N	N e H	E e H	E, N e H
Número de telespectadores	400	1.220	1.080	220	800	180	100

Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

a) 100
b) 200
c) 900
d) Os dados do problema estão incorretos
e) nda

Resolução

O número de pessoas que não assistem os programas de TV é desconhecido. Precisamos achar o número de pessoas que assistem aos programas e subtrair da quantidade total de moradores da comunidade.

Diagrama

1º Encontrando o número de pessoas que assistem aos programas:

$n(N \cup E \cup H)$ $=$ $n(N) + n(E) + n(H)$ $-$ $n(N \cap E) - n(N \cap H)$ $-$ $n(E \cap H) + n(N \cup E \cup H)$
$n(N \cup E \cup H)$ $=$ $1.220 + 400 + 1.080$ $-$ $220 - 800 - 180 + 100$
$n(N \cup E \cup H)$ $=$ $1.600$

2º Encontrando o número de pessoas que não assistem aos programas:

nº de quem não assiste aos programas + nº de quem assiste aos programas = total

$x + 1600 = 1800$
$x = 1800 - 1600$
$x = 200$

Resposta: O número de moradores da comunidade que não assistem aos três programas é de 200 pessoas. Alternativa B.

Considerações Finais

Este artigo teve como objetivo dar continuidade ao assunto de operações com conjuntos e explicar a operação mais cobrada em vestibulares. Você aprendeu:

• O número de elementos da união de um conjunto (com 2 e 3 conjuntos) e
• A aplicação em problemas.

Deseja fazer uma maratona de exercícios com resolução no final e detalhadamente explicada? Então clique na lista de exercícios a seguir.

Artigos

•  Teoria dos Conjuntos - Introdução
•  Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
•  Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
•  Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
•  Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
•  Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
•  Exercícios

Referência Bibliográfica

BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.

BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (Parte 2/2). Publicado em: 11 jul. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/07/teoria-dos-conjuntos-operacoes-2-2.html. Acesso em: 4 abr. 2025.