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Não atrevesse e atrevesse
(Foto: Carlos Sotelo / FreeImages) CC BY-NC
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Nos artigos Lógica Proposicional - Construção de Tabela-Verdade de uma Fórmula com Árvore de Decomposição e Lógica Proposicional - Construção de Tabela-Verdade de uma Fórmula sem Árvore de Decomposição aprendemos a construir a tabela-verdade de uma fórmula dada. É importante que o leitor tenha entendido como se constrói uma tabela-verdade, porque ela será fundamental para melhor absorção do conteúdo deste artigo.
Neste artigo será apresentado classes que denominam uma fórmula dada, com base na sua tabela-verdade.
Tautologias
Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade apresente somente o valor verdade verdadeiro.
Em outros termos, tautologia é toda proposição composta cujo valor lógico é sempre verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples (atômicas) componentes.
As tautologias são também denominadas de proposições tautológicas, ou proposições logicamente verdadeiras, ou proposições verdadeiras ou expressões válidas.
Indica-se que a proposição $$\text{A}$$ é tautologia com a anotação: $$\models$$ $$\text{A}$$.
Indica-se que a proposição $$\text{A}$$ é tautologia com a anotação: $$\models$$ $$\text{A}$$.
Vejamos alguns exemplos:
A wtff (well-formed formulas) $$\neg$$$$(\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg\text{P})$$ (terceira lei do pensamento) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
| $$\text{P}$$ | $$\neg$$$$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ | $$\neg$$$$(\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{P})$$ |
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Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.
Observação importante: para saber mais sobre as leis do pensamento veja Lógica Proposicional - Introdução. A sigla wtff significa fórmulas bem formuladas, saiba mais no artigo Lógica Proposicional - Fórmulas Atômicas e Complexas.
A fórmula bem formulada $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg\text{P}$$ (segunda lei do pensamento) é logicamente verdadeira, como imediatamente se vê pela sua tabela-verdade:
Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro.
A expressão bem formulada $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg($$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q})$$ é uma expressão válida, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
A proposição $$((\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\rightarrow$$ $$\text{R})$$ $$\rightarrow$$ $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$(\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{R}))$$ é uma proposição verdadeira, conforme mostra a sua abela verdade:
| $$\text{P}$$ | $$\neg$$$$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ |
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Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro.
A expressão bem formulada $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg($$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q})$$ é uma expressão válida, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ | $$\neg($$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q})$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg($$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q})$$ |
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A proposição $$((\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\rightarrow$$ $$\text{R})$$ $$\rightarrow$$ $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$(\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{R}))$$ é uma proposição verdadeira, conforme mostra a sua abela verdade:
| $$((\text{P}$$ | $$\rightarrow$$ | $$\text{Q})$$ | $$\rightarrow$$ | $$\text{R})$$ | $$\rightarrow$$ | $$((\text{P}$$ | $$\rightarrow$$ | $$\text{Q})$$ | $$\rightarrow$$ | $$\text{R}))$$ |
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Diz-se que uma fórmula $$\text{A}$$ implica tautologicamente a fórmula $$\text{B}$$ se ($$\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B}$$) constituir uma tautologia. Neste caso, diz-se também que B é uma consequência lógica de A.
As fórmulas $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ são logicamente equivalentes se ($$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$) constituir uma tautologia. Mais para frente você aprenderá sobre equivalência lógica.
Contradições
Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade apresente somente o valor verdade falso.
Em outros termos, contradição é toda proposição composta cujo valor lógico é sempre falso, para quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes.
Como uma tautologia é sempre verdadeira, a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, é uma contradição. Este conceito é reciproco.
As contradições são também denominadas proposições contra válidas ou proposições logicamente falsas.
Vejamos alguns exemplos:
A proposição $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg\text{P}$$ é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
| $$\text{P}$$ | $$\neg\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg\text{P}$$ |
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Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso.
A fórmula bem formulada $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\neg\text{P}$$ é uma proposição contra válida, conforme mostra a sua tabela-verdade:
| $$\text{P}$$ | $$\neg\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\neg\text{P}$$ |
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A expressão bem formulada $$(\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg(\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q})$$ é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
| $$(\text{P}$$ | $$\wedge$$ | $$\text{Q})$$ | $$\wedge$$ | $$\neg$$ | $$(\text{P}$$ | $$\vee$$ | $$\text{Q})$$ |
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A wtff (well-formed formulas) $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$(\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg\text{Q})$$ é uma proposição logicamente falsa, conforme mostra a sua tabela-verdade:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\neg\text{P}$$ | $$\neg\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg\text{Q}$$ | $$\neg\text{P}$$ $$\wedge$$ $$(\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg\text{Q}$$) |
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Contingências
Chama-se contingência toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade figura os valores verdade verdadeiro e falso, cada um pelo menos uma vez.
Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição.
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.
Vejamos alguns exemplos:
A proposição $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg\text{P}$$ é uma contingência, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
A fórmula bem formulada $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ é uma proposição contingente, conforme mostra a sua tabela-verdade:
A wtff (well-formed formulas) $$[\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$(\text{B}$$ $$\vee$$ $$\text{C})]$$ é uma proposição indeterminada, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
Vejamos alguns exemplos:
A proposição $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg\text{P}$$ é uma contingência, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
| $$\text{P}$$ | $$\neg\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\neg\text{P}$$ |
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A fórmula bem formulada $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ é uma proposição contingente, conforme mostra a sua tabela-verdade:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ |
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A wtff (well-formed formulas) $$[\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$(\text{B}$$ $$\vee$$ $$\text{C})]$$ é uma proposição indeterminada, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
| $$[\text{A}$$ | $$\rightarrow$$ | $$(\text{B}$$ | $$\vee$$ | $$\text{C})]$$ |
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O que você aprendeu
Vê-se, pelos resultados anteriores, que a linguagem proposicional contém "tantas tautologias quanto contradições". Intuitivamente, isto denuncia uma importante propriedade da linguagem proposicional: o pesquisador que utiliza a linguagem proposicional da lógica clássica para suas perquirições, a linguagem "está equipada" em igual número de sentenças verdadeiras e falsas. Logo, ela se posiciona neutralmente na busca da verdade. Especificamente, você aprendeu:- O que é uma tautologia.
- O que é uma contradição.
- O que é uma contingência.
- A lógica proposicional é neutra na busca da verdade.
Continua em
Continuação de
Referência Bibliográfica
ABE, J. M; SCALZITTI, A; FILHO, J. I. S. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. 247 p.
ALMEIDA, M; OLIVEIRA, R; MARIANO, F. Raciocínio Lógico e Matemática para Concursos Cespe/UnB: Teoria e Questões Resolvidas. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 201 p.
COPPIN. B. Inteligência Artificial. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 635p.
FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.
GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1995. 518 p.
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